35.X**X第1/3段

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  【例5】设f（x）为连续函数，且lim f（x）/x=1（x→0），求lim 【f（x）∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）】/【∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）】（x→0）。

  思路分析：这是一道积分上限函数求极限的问题，因为分子分母都有积分上限函数，所以需要分开化简，最后合并，再利用洛必达法则求解。

  ∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫f（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=-∫f（u）du（sx=0，xx=x）=∫f（u）du（sx=x，xx=0）.

  ∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫tf（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=-∫（x-u）f（u）du（sx=0，xx=x）=∫（x-u）f（u）du（sx=x，xx=0）=x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）.

  ∴原式=lim 【f（x）∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）

  =lim 【f（x）/x】·【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）

  =lim【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）

  =lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）-xf（x）】（x→0）

  =lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）

  =lim【1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）+f（x）/x】/1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）

  lim1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）

  =1/2 lim f（x）/x（x→0）

  =1/2

  ∴lim 【f（x）∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）】/【∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）】（x→0）=【1/2+1】/ 1/2=3

  解：∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫f（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=∫f（u）du（sx=x，xx=0）.

  ∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫tf（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=∫（x-u）f（u）du（sx=x，xx=0）=x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）.

  ∴原式=lim 【f（x）∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）

  =lim 【f（x）/x】·【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）

  =lim【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）

  =lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）-xf（x）】（x→0）



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