第五十六章 投影几何学第2/2段
不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。
射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。
由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。
施泰纳说：“我研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是我引进的。
施陶特说：“我为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，我通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，我建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。”
另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。
莫比乌斯说：“我创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。”
接着，普吕克说：“我引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。我还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。”
在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证
882年帕施说：“我建成第一个严格的射影几何演绎体系。”
射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。
克莱因说：“把各种几何和变换群相联系。”
克莱因说：“我在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。”
这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。
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