第72章 数学省赛第3/3段
∑（ b - c )2≥1\/3∑b＋c\/a(b-c)2,试证不等式1中的系数1\/3是最优的。
这题需要将系数1\/3一般化，设为k然后证明k的取值范围≤1\/3就可。这题在第一题难度相对不大。
第二题求一切实数 p ，使得三次方程5x3-5( p +1)x2+(71p-1) x +1\\u003d66p
这题难度也不太离谱，假设法设未知数，最后求得 v \\u003d17或59, u \\u003d59或17, p \\u003d u + v \\u003d76，即当且仅当 p \\u003d76时，方程三根均是正整数：1,17,59
从第三题就有点不好搞了，这是一道数列题。
设 a \\u003d1,a2\\u003d2.an\\u003d2an-1+ an-2 ， n \\u003d3,4,...。证明：对整数 n ≥5, an必有一个模4余1的素因子。
这题张尧花了不少时间，数学归纳法在这题上用的出神入化，另外还用到了费马小定理和分类讨论的思想。
求解过程相当复杂，就这一道题把张尧前两题积累的时间全用完了。
最后一题是考的是染色问题，染色问题属于杂题，但在猜想中与其相关的不少。
题干为能否把1,1,2,2,3,3,...,1986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，...，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论
证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个。证明将1986x2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个
现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点．于是993个偶数，占据白点 A ,\\u003d993个，黑色 b ,\\u003d993个．
993个奇数，占据白点 A ,\\u003d2a个，黑点 bg \\u003d2b个，其中 a + b \\u003d993.因此，共占白色 A \\u003d A ,+ A ,\\u003d993+2a个．
黑点 b \\u003d b ,+ b ,\\u003d993+2b个，
由于 a + b \\u003d993（非偶数！) a ≠ b ，从而得 A ≠ b ．这与黑、白点各有1986个矛盾．故这种排法不可能．
这题其实比上一题要来的简单，不过染色问题很少做最后一题考，一下子遇到还是有点难办！
这张试卷写完后，张尧感觉这次数学竞赛的难度不是很大，不比往年要难。只能说差不多罢了。
也不怪张尧这样想，他参加的竞赛太多了，有时他都默认省赛题会比初赛难很多的设定了。但其实也不尽然，有些地方的初赛试题不比联赛来的容易。
写完后大概还剩三十分钟的时间。张尧把真张试卷都检查了一下，尤其检查是不是有笔误，数学试题的解答过程很长，如果出现这种错误，对评分影响很大。
检查完毕后张尧又对其中一些题目用其他方法尝试，最好用的莫过于反证法。一般结论是错误的题目用反证法更容易一点。
但张尧没把最后的结果写上，这只是他的一种尝试而已，并不完全正确。所以放在试卷上可能会出现狗尾续貂的问题。
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